Códigos algébrico-geométricos e suas aplicações à teoria de códigos quânticos.

Abstract

Nesta tese de doutorado são investigadas aplicações de códigos algébrico-geométricos na construção de códigos estabilizadores, códigos quânticos assistidos por emaranhamento e códigos convolucionais clássicos e quânticos. Uma análise comparativa dos códigos criados com os códigos presentes na literatura também é feita. O primeiro resultado mostrado é sobre a obtenção de novos códigos algébrico-geométricos a partir de considerações sobre divisores de corpos de funções. Posteriormente, para a classe de códigos estabilizadores, dois tipos de métodos de construções de códigos estabilizadores com comprimento finito, e um para análise assintótica de códigos derivados de uma torre de códigos algébrico-gemétricos,

são apresentados. Essa análise assintótica é feita sobre expansão de códigos algébrico- geométricos, o que difere dos trabalhos anteriores da literatura. Partindo para os códigos

quânticos assistidos por emaranhamento, é mostrado que a utilização de códigos algébrico- geométricos na construção de códigos quânticos assistidos por emaranhamento é possível

através de um resultado mostrado também nesta tese. Com isso, são construídas três famílias de códigos quânticos assistidos por emaranhamento utilizando a construção euclidiana destes códigos quânticos, além de mais uma pela construção hermitiana. Também é mostrado a existência de uma família assintoticamente boa, em termos de taxa e emaranhamento relativo, de códigos quânticos assistidos por emaranhamento. Códigos cíclicos também são aplicados na construção de códigos quânticos assistidos por emaranhamento. Descrevendo códigos cíclicos via conjunto de definição é possível diminuir a complexidade de criação e descrição dos códigos quânticos criados. Duas famílias com parâmetros ótimos são construídas através da utilização de códigos cíclicos. Por fim, para a construção de códigos convolucionais clássicos via códigos de blocos, é utilizado o método de construção proposto inicialmente por Piret. Uma análise deste método é feita por meio da construção de uma matriz geradora na forma canônica

controladora e pelo cálculo da identidade de MacWilliams. Aplicando códigos algébrico- geométricos ao método de Piret são criados novos códigos convolucionais com parâmetros

melhores que os códigos convolucionais existentes na literatura. Também são construídos códigos convolucionais quânticos a partir de códigos algébrico-geométricos.